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모든 아이큐는 평균 아이큐 100을 기준으로 만들고 있으며, 여기에서 측정한 표준편차만 알면 자신의 아이큐 등위를 알 수 있는 것이 표준편차와 아이큐 관계입니다. 예로, 표준편차 15로 측정하여 아이큐가 130 나왔을 때 이 아이큐는 전체 상위 2%에 속하는 것을 알 수 있습니다.

    
위와 같이 표준편차와 아이큐로 어떻게 상위 2%인지 알 수 있을까?

 

 


통계 분포인 정규분포는 평균(m)과 표준편차(σ)로 표현되며, 쉽게 계산하기 위하여 정규분포를 표준정규분포로 변환하여 계산합니다.

확률변수 X가 정규분포 N (m, σ²)을 따를 때, 새로운 변수 Z를 다음과 같이 변환시키면 새로운 확률변수 Z의 확률분포는  표준정규분포 N(0,12)을 따르게 됩니다.

 


 

xm.gif          여기서  zzz01.gif  


즉, 정규분포를 평균(m)이 0이고 표준편차(σ)를 1로 표준화하면, 정규분포의 확률을 Z 값 기준으로 쉽게 계산이 가능합니다.

z_trans.gif  


우선 표준정규분포 를 보는 방법은, 아래의 표는 표준정규분포곡선에서 0에서 Z까지의 확률을 표로 나타낸 것입니다. 즉, 만일Z=2.54 의 값을 알고 싶다면 왼쪽 첫 열에서 2.5로 나타난 행을 찾고 위쪽 첫 행에서 0.04로 표시된 열을 찾아 만나는 지점의 값을 구합니다. 그 값은 0.4945로 표시되어 있습니다.


 

pp.jpg 


 

그러므로 표준편차 15에서 아이큐 130은 전체 몇%에 해당하는지 구하여 보면, 모든 아이큐 평균이 100이라고 하였으므로

 

  xm.gif        에서

 

zzz.gif

 

 


 

이므로 위의 표에서 Z=2.0에 해당 확률은 정규분포 표에서 왼쪽 첫열에서 아래로 2 지점과 쪽 첫행 0지점이 만나는 지점을 찾으면0.4772라는 것을 알 수 있습니다.


그러므로 아이큐 130은 표준정규분포 표에서 중심 좌측 면적(0.5)+Z 값 면적(0.4772)의 총면적인 확률 값 0.9772(0.5+0.4772)로 퍼센타일 값 97.72%ile (0.9772x100)을 구할 수 있으며, 보통 집단에서 상위 약 2%(100-97.72)인 통계적 의미를 가지는 것입니다.


zz.jpg


자신이 측정한 아이큐와 표준편차만 알면 자신이 전체에서 몇 등인지 알 수 있습니다.


표준편차15에서 아이큐 130은 퍼센타일 값(Percentile 값:작은 쪽에서부터 세어 몇 % 째의 값이 어느 정도인지를 나타내는 통계적 표시법)이 97.72%ile이므로 상위 2%(100-97.72)인 100명 중 2등(100x0.02)인 아이큐입니다.



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  • 표준편차 2011.02.07 03:26

    표준편차를 다른 용도로 학교에서 성적표의 등수를 알 수가 있습니다.

    A학생이 영어를 60점 받았고,B학생이 수학을 80점 받았다면 누가 잘한것 일까요?
    당연히 수학 80점 받은 B학생이 공부를 잘한다고 할수 있을 것입니다.하지만 성적표에는평균과 표준편차와 같이 주어집니다.영어의 평균이 50이고 표준편차가 10으로 주어지고,수학평균은 70점과 표준편차 15로 주어진다면 이제는 두학생A,B는 표준화하여 상대비교를 할수가 있습니다.

    A학생은 Z=(60-50)/10=1.0 이므로 위정규분포표에서 Z=1.0인 확률 0.3413과 왼쪽 분포 0.5를 합하여 전체 0.8413이며,이것은 상위 16% (0.16=1-0.8413)안에 속합니다.

    B학생은 Z=(80-70)/15=0.67 이므로 위 표에서 0.2486이므로 전체 0.7486(0.5+0.2486)에 속하며 상위 25%(0.2514=1-0.7486)안에 드는 점수입니다.

    계산결과 A는 상위16%안에 속하며,B는 상위25%이므로 상대적으로 A학생이 좋은 점수라고 할수가 있을 것입니다.

    이 상대적 값으로 전교생이 400명이라고 한다면 A는 전교64등(64=400x0.16)이며,B는 전교생중 100등(100=400x0.25)임을 상대적 위치를 비교할수가 있습니다.

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