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등수 자동계산기

 

교육과학기술부의 중고교 내신을 상대평가에서 절대 평가로 바꾸기 위한 성적 표기 방식에서, 현재 1학기 기말고사를 치르는 중학교 1학년의 성적표가 수우미양가 대신에 ABCDE가 표시됩니다.

 

교과목별 석차가 없어지고 원점수, 과목평균, 표준편차만 표기하게 되어 있습니다.

 

 

<현행>

과목        성취도                석차/학생수

수학           수                     7 / 410

 

<변경>

과목      성취도(수강자수)   원점수/과목평균(표준편차)

수학           A(410)                  95 / 75.2 (9.5)



성취평가제 상세 변경 내용


  ●성취도(수강자수), 원점수, 과목 평균, 과목 표준편차로 표기

  ●원점수:지필평가 및 수행평가의 반영비율 환산 점수 합계를 소수 첫째 자리에서 반올림하여 정수로 기록

  ●과목 평균, 과목 표준편차:원점수를 사용하여 계산하여 소수 둘째 자리에서 반올림하여 소수 첫째 자리까지 기록

  ● 성취도:원점수에 따라 다음과 표기한다.

        성취도               성취율(원점수)

          A                     90% 이상

          B                     80% 이상~90% 미만

          C                     70% 이상~80% 미만

          D                     60% 이상~70% 미만

          E                      60% 미만

         ※성취도 표기 방법: 원점수 95이면 성취율에서 95%로 A, 원점수 71이면 C로 표기

         단,체육,음악,미술교과의 과목의 성취도는 다음과 같이 표기

         성취도         성취율(원점수)

            A                  80% 이상~100%

            B                  60% 이상~80% 미만

            C                  60% 미만

 

score02.png

 

 

 

 

표준편차란 중심(평균)에서 얼마나 떨어져 분포해 있는가를 나타냅니다.


정규분포는 아래 그림과 같이 평균과 표준편차에 따라 항상 일정한 분포를 나타내게 됩니다.(여기서 m은 평균, σ는 표준편차)

z02.jpg 


통계에서 확률분포인 정규분포는 뜻 그대로 정상적인 분포로 세상의 모든 일들이 이 정규분포에 따릅니다.

 

예를 들면 시험을 실시하여 평균(m) 80점과 표준편차(σ) 10에서는 정규분포에 따라 m±1σ 구간인 70점(80-1x10)과 90점(80+1x10) 사이에는 전체 중 68.3%가 분포하며, m±2σ 구간인 60점(80-2x10)과 100점(80+2x10) 사이에는 전체 중 95.5%가 분포하며, 100점과 60점 이하에서는 각각 전체에서 2% 이하가 분포하는 아래 그림과 같습니다.

 

z002.jpg

 ※참고: 정확한 σ값 범위는  1σ ~ 34.13% , 2σ ~ 47.72% , 3σ ~ 49.87%


위의 정규분포에서 과목 평균 80점과 표준편차10에서 원점수 90점의 등수를 구하여 보면, 90점은 90 = 80(평균 m)+10(표준편차 1σ)인 m+1σ 지점이므로 퍼센타일 은 50%(그림 왼쪽 반쪽 전체) + 34.13%(그림 오른쪽 1σ)에서 합 84.13%ile이 되며 상위 약 16%(15.87=100-84.13)에 속하게 됩니다. 이 의미는 90점 이상은 측정 집단 400명 중 64명(400x0.16)이 나올 수 있는 통계 값입니다.

 

이와 같은 방법으로 각 점수대의 등수는 표준정규분포 표로 구할 수 있으며, 각 점수대의 동점자를 처리하여 프로그램한 아래 등수 자동계산기 프로그램으로 쉽게 등수를 알 수 있을 것입니다.



등수자동계산기


[사용방법]원점수/과목평균/표준편차/수강학생수를 기입하여 OK를 누르면 자신의 등수를 구할 수 있습니다.

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  • 로즈마리 2013.05.27 02:43

    위의 등수 구하기 프로그램 기능은..

    퍼센타일 (percentile 값:작은 쪽에서부터 세어 몇 % 째의 값이 어느 정도인지를 나타내는 통계적 표시법)에 의한 높은 쪽부터 동점자 처리하여 등수 표시
    예) 100점 맞은 학생이 16명이고 99점 맞은 학생이 4명이면, 최고 100점 맞은 학생 등수는 1등, 99점은 17등으로 동점자 처리




  • 로즈마리 2013.05.28 13:37 Files첨부 (1)

    원점수에서 평균과 표준편차만 알면 자신이 전체 몇 등인지 알 수 있습니다.

    원점수 90점이 나왔을 때, 평균 80점과 표준편차10을 알면, 자신의 등수는 전체 상위 16%에 속하는 것을 알 수 있습니다.(통계에서 확률분포 개념 이해가 필요)

        
    위와 같이 표준편차와 평균으로 어떻게 상위 16%인지 알 수 있을까?


    통계 분포인 정규분포는 평균(m)과 표준편차(σ)로 표현되며, 쉽게 계산하기 위하여 정규분포를 표준정규분포로 변환하여 계산합니다.


    확률변수 X가 정규분포 N (m, σ²)을 따를 때, 새로운 변수 Z를 다음과 같이 변환시키면 새로운 확률변수 Z의 확률분포는  표준정규분포 N(0,12)을 따르게 됩니다.

     

     xm.png      여기서  


    즉, 정규분포를 평균(m)이 0이고 표준편차(σ)를 1로 표준화하면, 정규분포의 확률을 Z 값 기준으로 쉽게 계산이 가능합니다.


      

     

    아래 표는 표준정규분포곡선에서 0에서 Z까지의 확률을 표로 나타낸 것입니다. 아래 표준정규분포 를 보는 방법은  Z=2.54의 값을 알고 싶다면 왼쪽 첫 열에서 2.5로 나타난 행을 찾고 위쪽 첫 행에서 0.04으로 표시된 열을 찾아 만나는 지점의 값을 구합니다. 만나는 지점 값은 0.4945 으로 표시되어 0부터 Z 지점까지의 면적(확률)을 나타냅니다.(아래 곡선 그림의 면적, 곡선 전체 면적인 확률 값은 1)


    pp.png 


     

    그러므로 원점수 90점을 받았다면, 표준편차 10과 평균 80점에서 전체 몇%에 해당하는지 구하여 보면,

     

      xm.gif     에서

     


    zzz001.gif
     

    이므로 위의 표에서 Z=1.0에 해당 확률은 표준정규분포 표에서 왼쪽 첫열에서 아래로 1.0 지점쪽 첫행 0.00 지점이 만나는 지점을 찾으면 0.3413라는 것을 알 수 있습니다.


    그러므로 평균 80점과 표준편차 10에서 원점수 90점은 아래 그림과 같이 표준정규분포 표에서 중심 좌측 면적(0.5)+Z 값 면적(0.3413)의 총면적인 확률 값 0.8413(0.5+0.3413)으로 퍼센타일 값 84.13%ile(0.8413x100)을 구할 수 있습니다.

    sd_1.gif


    원점수에서 평균과 표준편차만 알면 자신이 전교 몇 등인지 알 수 있습니다.


    원점수 90점은 표준편차10과 평균 80점에서 퍼센타일(Percentile 값:작은 쪽에서부터 세어 몇 % 째의 값이 어느 정도인지를 나타내는 통계적 표시법)이 84.13%ile이므로 상위 16%(100-84.13)인 전교생 400명 중 64등(400x0.16)이 나올 수 있는 통계적 의미를 가지는 것입니다.


    이와 같은 방법으로 동점자 수를 고려하여 프로그램한 것이 위의 등수자동계산기로 쉽게 자신의 등수를 알 수 있습니다.



  • 로즈마리 2014.11.01 09:18
    1) 표준정규분포 표에 맞게 숫자를 정밀하게 프로그램 수정하였습니다. 소수점 4~5까지.. 무의미하지만 정밀도는 보여줍니다.

         예로 점수 90점, 표준편차 14.7 , 평균 79.7 일 때 위의 표준정규분포 표 값인 z(=0.70068) 값이 0.258 (전체 75.8%) 표현되지만  등수자동프로그램은 값 0.2582(전체 75.82%)로 계산합니다.

    2) 상위 % 인지를 표시하였습니다. 전체 100%에서 퍼센타일(%ile) 값을 빼주면 상위 몇%가 나옵니다(소수점 반올림하여 정수로 표시)


  • 로즈마리 2014.11.13 21:05 Files첨부 (2)


    오늘 수능시험에서 평균과 표준편차로 표준정규분포 표를 보는 방법이 시험에 나왔습니다.

    zzz011.png

    조그만 이해했으면 쉽게 풀 수 있는 문제인듯합니다. 


    2015학년도 대학수학능력시험문제 수학 B형 홀수형 11번 문제 ..2014년 11월 13일 실시


    su_01.jpg





  • 소망지기 2015.03.30 22:50

    숙제를 하다가 몰라서  여기왔는데  잘가르쳐 주네요 ..

    감사감사 합니다..



  • 아이큐137 2015.05.21 07:46

    위의 표준정규분포 표에서 직감적으로...

     

    평균+ 0.5 x 표준편차  =  원점수 일때 상위 30%

    평균+ 0.5 x 표준편차  <  원점수 일때 상위 30%이하

    평균+ 0.5 x 표준편차  >  원점수 일때 상위 30%이상


    평균+ 표준편차  =  원점수 일때 상위 16%

    평균+ 표준편차 <   원점수 일때 상위 16%이하

    평균+ 표준편차  >  원점수 일때 상위 16%이상


    평균 + 1.28 x 표준편차 =  원점수 일때 상위 10%

    평균 + 1.28 x 표준편차 <  원점수 일때 상위 10%이하

    평균 + 1.28 x 표준편차 >  원점수 일때 상위 10%이상


    평균 + 1.64 x 표준편차 =  원점수 일때 상위 5%

    평균 + 1.64 x 표준편차 <  원점수 일때 상위 5%이하

    평균 + 1.64 x 표준편차 >  원점수 일때 상위 5%이상


    평균 + 2 x 표준편차 =  원점수 일때 상위 2%

    평균 + 2 x 표준편차 <  원점수 일때 상위 2%이하

    평균 + 2 x 표준편차 >  원점수 일때 상위 2%이상


    평균 + 2.3  x 표준편차 =  원점수 일때 상위 1%

    평균 + 2.3  x 표준편차 <  원점수 일때 상위 1%이하

    평균 + 2.3  x 표준편차 >  원점수 일때 상위 1%이상



     

     

  • 로즈마리 2015.11.13 00:59 Files첨부 (1)

    작년(2014년)과 비슷한 문제 출제..


    2016학년도 대학수학능력시험문제 수학 A형 홀수형 12번 문제 ..2015년 11월 12일 실시


    su_2015.gif



  • ㅁㄴㅇ 2015.12.17 14:06

    도움이 많이 되었습니다 감사합니다



  • 2016.05.26 15:56


    자연현상을 이야기 할 때, 일반인들은 눈에 보이는 것만 믿는 뉴턴의 고전물리학과 확률 세계를 설명해 주는 아인슈타인 현대물리학으로 분류됩니다.

    예로 물질을 이루는 작은 단위인 원자가 있는데, 전자의 개수, 위치, 움직임에 따라서 대부분 현상을 나타나게 됩니다. 그런데 이 전자가 어디에 위치하고 있는지는 뉴턴의 고전역학으론 정확히 계산할 수가 없습니다. 바로 현대 양자역학에서 일정한 상태에서 어떤 양을 측정할 때 일정한 값을 구할 수 없고, 단지 같은 상태에서 동일한 측정을 계속한다고 가정하였을 때 값인 확률만으로 나타낼 수 있습니다.


    nu.jpg

    눈에 보이는 하나의 사과가 고전역학 개념이라면, 점들이 하나하나 모여서 형태를 이루는데 점이 형태에 있는 것도 있고 형태에서 멀리 떨어져 있는 점들도 존재하며, 많은 점들은 형태 부근에 존재하여 전체적으로 보면 사과 형태로 보인다는 것이 양자역학 개념입니다.



    자연현상을 얘기할 때 눈에 보이는 것만 믿는 것이 전부(뉴턴의 고전역학 개념)가 아니라 확률적인 세계가 존재(아인슈타인의 양자역학 개념) 하며 이런 확률 세계가 우리 몸속, 우리가 사는 세상을 지배하는 가장 근본적인 것이라는 사실을 정확히 알고 있는 사람은 많지 않으며, 확률을 기본으로 하는 양자이론이 반도체, 초전도, 레이저등 현대 첨단 과학문명 발달에 공헌하였습니다.


    위에서 전자가 원자핵으로부터의 거리 0.053nm는 전자가 존재하는 확률의 거리를 의미하며, 표준편차에서 등수 계산도 체중계로 몸무게를 재는 것과 같은 절대적인 값(고전역학 개념)이 나올 수 없으며, 확률적인 값(양자역학 개념)으로 생각하여  '추측'해 볼 수 있는 것입니다.

     

  • 로즈마리 2016.05.28 13:37 Files첨부 (1)

    학교알리미홈페이지 schoolinfo.go.kr 의  '학업성취도'에서 각학교,학년별,교과별 성적사항을 알 수 있습니다.


    2015년도 개포중학교 2학년1학기 A B C D E등급비율

    과목평균표준편차성취도별 분포 비율
    ABCDE
    국어75.117.823.516.117.412.220.9
    수학72.119.623.517.420.014.824.3
    영어67.920.618.317.411.322.6
    30.4
    과학70.818.717.419.122.611.3

    29.6

    역사73.318.719.128.715.714.8

    20.2

    도덕76.718.229.625.215.711.3

    18.3

    기가84.414.349.618.315.77.0

    9.6


    ※ 위의 성적표는 평균과 표준편차에서 등급 분포를 보면 정확한 정규분포 형태는 아니지만, 확률적으로 어느 정도 정규분포 형태를 보여주는 것을 알 수 있습니다.


    정규분포는 자연 현상에서 나타나는 정상적인 분포입니다. 일정한 측정수에서 평균과 표준편차를 가지게 되면 정규분포 형태로 나타나게 됩니다.

     

    보통 측정자수가  30명이며 정규분포 형태를 보여주며,측정자수가  많을수록 더 정규분포 형태를 띠게 되어 있지요. 측정자 성적의 평균을 구하여 평균 중심으로 표준편차만큼 얼마나 떨어져 분포해 있는가를 나타내는 자연현상이 정상적으로 정규분포 형태로 나타납니다. 


    확률적인 개념이므로 확률로 생각을 하여야 할 것입니다. 하나하나는 눈에 보이는 정확한 정규분포 모양이 아닐 수도 있지만 확률적으로 전체를 보면 정규분포 모양의 형태를 가진다는 것입니다.


    평균과 표준편차로 표현된 정규분포 형태에서, 위의 성적표에서 기가 과목의 경우에는 시험 문제가 쉬워서 평균(84.4)은 높고 학생들 간 성적 차이가 적은  표준편차(14.3)로, 정규분포(종모양) 중심인 평균(84.4)이 A등급(90점이상)방향으로 치우쳐 A등급(90점이상)에 많은 학생이 분포해 있고 E등급(60점미만) 쪽은 적은 학생들이 분포해 있는 것을 짐작할 수 있습니다.



    정규분포, 기가 평균=84.4, 표준편차=14.3



    또, 표준편차(18.7)는 동일하고 평균에서 차이가 있는 과학(70.8) < 역사(73.3)에는 정규분포 중심(평균)이 C등급(70~79점)에서 B등급(80~89점) 방향으로 이동한 것을 어림짐작 알 수 있습니다. 



    정규분포, 과학 평균 70.8(왼쪽)  역사 평균 73.3(오른쪽), 표준편차=18.7



    위에서 알 수 있듯이 자연현상에서 정규분포 형태는 학생 성적표 등수를 확률적 관점에서 자신의 위치를 알 수 있으며, 체중계와 같이 정확하게 몸무게를 절대값으로 재어 주는 것이 아니라, 확률를 이용하여 오차가 있는 근사값으로 어느 정도의 위치를 추측할 수 있습니다.



    cr.gif

    X:계산값, Y:성적표등수값





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