표준편차와 아이큐만 알면 자신의 아이큐가 전체 몇등인지 알수가 있습니다.

모든 아이큐는 평균 아이큐 100을 기준으로 만들고 있으며, 여기에서 측정한 표준편차만 알면 자신의 아이큐 등위를 알 수 있는 것이 표준편차와 아이큐 관계입니다. 예로, 표준편차 15로 측정하여 아이큐가 130 나왔을 때 이 아이큐는 전체 상위 2%에 속하는 것을 알 수 있습니다.

    
위와 같이 표준편차와 아이큐로 어떻게 상위 2%인지 알 수 있을까?

통계 분포인 정규분포는 평균(m)과 표준편차(σ)로 표현되며, 쉽게 계산하기 위하여 정규분포를 표준정규분포로 변환하여 계산합니다.

확률변수 X가 정규분포 N (m, σ²)을 따를 때, 새로운 변수 Z를 다음과 같이 변환시키면 새로운 확률변수 Z의 확률분포는  표준정규분포 N(0,1²)을 따르게 됩니다.

          여기서    

즉, 정규분포를 평균(m)이 0이고 표준편차(σ)를 1로 표준화하면, 정규분포의 확률을 Z 값 기준으로 쉽게 계산이 가능합니다.

우선 표준정규분포 표를 보는 방법은, 아래의 표는 표준정규분포곡선에서 0에서 Z까지의 확률을 표로 나타낸 것입니다. 즉, 만일Z=2.54 의 값을 알고 싶다면 왼쪽 첫 열에서 2.5로 나타난 행을 찾고 위쪽 첫 행에서 0.04로 표시된 열을 찾아 만나는 지점의 값을 구합니다. 그 값은 0.4945로 표시되어 있습니다.

그러므로 표준편차 15에서 아이큐 130은 전체 몇%에 해당하는지 구하여 보면, 모든 아이큐 평균이 100이라고 하였으므로

          에서

이므로 위의 표에서 Z=2.0에 해당 확률은 정규분포 표에서 왼쪽 첫열에서 아래로 2 지점과 위쪽 첫행 0지점이 만나는 지점을 찾으면0.4772라는 것을 알 수 있습니다.

그러므로 아이큐 130은 표준정규분포 표에서 중심 좌측 면적(0.5)+Z 값 면적(0.4772)의 총면적인 확률 값 0.9772(0.5+0.4772)로 퍼센타일 값 97.72%ile (0.9772x100)을 구할 수 있으며, 보통 집단에서 상위 약 2%(100-97.72)인 통계적 의미를 가지는 것입니다.

자신이 측정한 아이큐와 표준편차만 알면 자신이 전체에서 몇 등인지 알 수 있습니다.