솔로   2021.07.07 01:00

수 체계

조회 수 227 추천 수 1 댓글 1
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IQ 종류 수리/언어
IQ 측정값 136
안녕하세요? 오랜만입니다. 제가 원래 아이큐 2x5x13이었는데 지금 닉을 바꿨어요. 한달정도 된 것 같습니다.
참고로 이 글은 다른 곳에서 수체계 자료를 약간 참고했고 제가 그 자료에 있는 것을 좀 수정하고 결론을 적어보았습니다. 여러 공식들이 나오니 잘 봐주시기 바랍니다.


                                  수 체계
1. 자연수
Natural number1,\,2,\,3,\,4,\cdots1,2,3,4,⋯ 등, 정수 중에서 양의 정수만을 의미하며, 가장 간단한 수의 집합이다. 기호 표현으로는 첫 글자를 따서 \mathbb{N}N으로 쓴다. 경우에 따라서는 양의 정수라는 뜻에서 \mathbb{Z}^{+}Z+라 표현하는 경우도 있다.모든 것의 시작. 집합론을 빼면, 수학의 시작은 사실상 여기다. 자연수가 없으면 그게 과연 수학일까?[9] 그렇다 보니, 자연수는 구성하는 것이 아니라 정의하는 것이라고 보는 편이 낫겠다. 자연수 집합은 일단 페아노 공리를 만족시키는 집합으로 정의되는데, 자세한 건 자연수 문서 참고. 참고로 이러한 정의는 단지 정의일 뿐이지, 자연수 집합의 존재를 보장해 주진 않는다. 그 존재성은 다른 방법으로 보장되어야 하는데, 물론 이는 집합론 레벨의 이야기이다. 현재 가장 널리 받아들여진 ZFC 공리계[10]는 이러한 집합의 존재를 보장해 준다. 따라서 수학자들은 안심하고 자연수를 쓸 수 있는 것이다. 단 ZFC만으로는 구체적으로 어떠한 집합이 자연수 집합인지는 알 수 없다. 자연수 집합에 대한 일반적인 정의는 무한공리 항목 참조.자연수의 모든 성질들은 페아노 공리들로부터 도출된다. 일단 자연수 집합이 무한집합이라는 걸 이끌어낼 수 있으며, 덧셈과 곱셉의 정의를 도입하면 이 연산들이 닫혀 있고, 결합법칙, 교환법칙, 소거법칙, 분배법칙 등을 만족시킨다는 걸 이끌어 낼 수 있다. 이로부터 알 수 있는 건, 자연수 집합이 덧셈과 관하여 반군, 곱셈에 관하여 항등원이 있는 모노이드를 이룬다는 것이다.[11] 참고로, 페아노 공리를 그대로 따르는 자연수 집합엔 0, 즉 덧셈의 항등원이 존재하지 않는다.
1.1. 범자연수
\mathbb{N_{0}} = \{ 0,~1,~2,~3,~\cdots \}N0​={0, 1, 2, 3, ⋯} Whole Numbers(범자연수)라고 한다.[12]존 폰 노이만의 방식을 따라 공집합을 00으로 정의하고 1=\left\{0\right\}1={0}, 2=\left\{0,1\right\}2={0,1}...식으로 정의하기도 한다. 자연수가 페아노의 공리를 만족시키는 모든 집합인 것은 맞지만 오직 "양의 정수"의 집합 1,\,2,\,3,\,4,\cdots1,2,3,4,⋯ 등만이 자연수가 될 수 있는 것은 아니다. 즉, '양의 정수만을 의미하며' 라는 구문은 약간 어폐가 있다.간단한 예로 00을 포함한 0,\,1,\,2,\,3,\cdots0,1,2,3,⋯ 또한 자연수의 집합이 될 수 있고, 심지어 -1,\,0,\,1,\,2,\cdots−1,0,1,2,⋯ 게다가 -1/2,\,1/2,\,3/2,\cdots−1/2,1/2,3/2,⋯또한 자연수의 집합이 될 수 있다. 자세한 것은 자연수 문서 참조. 하지만 보통 자연수로부터 정수, 유리수, 실수, 복소수 등을 만들어낼 때에는 1,\,2,\,3,\cdots1,2,3,⋯ 인 경우(혹은 처음부터 0,\,1,\,2,\,3,\cdots0,1,2,3,⋯인 경우)만 생각한다. 물론 그 외에도 별다른 이야기가 없으면 \left\{1,\,2,\,3,\cdots\right\}{1,2,3,⋯}을 자연수 집합이라고 말하는 것이 보통이다.[13]
1.2. 소수
'소수'가 아닌, '소쑤'라고 읽어야 하며, 과거에는 '솟수'라고 표시했다.\mathbb{P} = \{ 2,~3,~5,~7,~\cdots \}P={2, 3, 5, 7, ⋯}처럼 약수가 1을 제외하고 하나뿐인 자연수 집합. 자세한 내용은 문서 참조.
1.3. 초자연수(슈타이니츠 수) 
에른스트 슈타이니츠(Ernst Steinitz)가 체론에 대한 작업의 일환으로 만들었다.
2. 정수
Integernn이 자연수일 때, n+x=0n+x=0[14]을 만족시키는 모든 xx, 모든 nn, 00을 통틀어 '정수'라고 한다. 그리고 특정 nn에 대한 xx의 표기를 x=-nx=−n으로 한다.정수 내에서는 자연수를 양의 정수라 부르며, \{ -1,\,-2,\,-3,\cdots \}{−1,−2,−3,⋯}를 음의 정수라고 한다. 00은 양의 정수도, 음의 정수도 아닌 정수이다. 집합 기호 표현으로는 독일어의 Zahlen의 앞글자에서 따온 \mathbb{Z}Z를 사용한다.하지만 조금만 깊게 들어가면 수학전공 쪽에는 아예 '정수론' 이라는 과목이 따로 있을 정도로 복잡해지며, 수학이란 학문이 정수 체계만 가지고도 어디까지 괴상한 짓을 할 수 있는지 보여준다. 공부하는 입장에선 정수론과 해석학이 같은 학문이란 게 믿겨지지도 않을 정도로 느낌이 다른데, (해석학이 엄정한 알고리즘과 연역적 정의에 의해 돌아간다면 정수론은 딱 두뇌퍼즐 느낌이다. 그 둘이 어떻게든 서로 엮이기 때문에 어느 한쪽을 소홀히 할 수가 없다.자연수로부터 정수를 엄밀하게 만들어내는 건 말처럼 쉽지가 않다. 하지만 그냥 뭉뚱그려 설명하자면 다음 한마디로 끝나버린다. "자연수 집합에 덧셈의 항등원(00)을 추가하여[15] 가환 모노이드(commutative monoid)[16]를 만든 다음, 이 모노이드로부터 만들어진 그로탕디에크 군(Grothendieck group)을 정수라고 정의한다.[17] 그로텐디크 군을 통해 정수를 만드는 과정을 최대한 간단하게 설명하자면 이렇다.
두 자연수의 순서쌍들 \left(a, b\right)(a,b)와 \left(c, d\right)(c,d)가 다음을 만족시키다고 할 때, 이 둘을 같다고 친다.[18]a + d = b + ca+d=b+c
\left(a, b\right)(a,b)와 \left(c, d\right)(c,d)의 덧셈을 \left(a + c, b + d\right)(a+c,b+d)로, 곱셈을 \left(ac + bd, ad + bc\right)(ac+bd,ad+bc)로 정한다.[19][20]
이러한 '변형된' 동치류(이 순서쌍)들의 집합이 바로 정수.
위에서 설명한 두 순서쌍 사이의 동치관계는 결국 \left(a, b\right)(a,b)의 차와 \left(c, d\right)(c,d)의 차가 동일하다, 즉 a-b=c-da−b=c−d를 나타낸 것이다.과정 중에 나오는 이름에서도 알 수 있듯이, 정수는 덧셈에 관하여 군, 그것도 교환법칙이 성립하므로 가환군이다. 사실상 모든 군 중에서 가장 기본적인 녀석들 중 하나. 다만 곱셈에 대해선 모노이드[21]이지만 군은 아니다. 이때 정수는 덧셈과 곱셈에 대하여 환을 이룬다. 덧붙여서, 여기까지만 해도 정수론에 필요한 모든 기본적인 성질들[22]을 유도할 수 있다.
3. 유리수
Rational number실수 중에서도, p/qp/q (p,qp,q 는 정수(q\ne 0q=0))꼴로 나타낼 수 있는 수들의 집합을 의미한다. 원래 어원상 유리수가 맞지만 rational의 수학적 의미는 '비율이 있는'이므로 유비수[23]가 맞다는 주장도 존재. qq가 11이냐 아니냐에 따라서 정수와 '정수가 아닌 유리수' 로 구분한다. 기호표현으로는 \mathbb{Q}Q 이다.유리수는 그냥 정수의 분수체(field of quotient)로 정의된다. 간단히 말하자면 이렇게 만들어지는 집합.
두 정수의 순서쌍들 \left(a, b\right)(a,b)와 \left(c, d\right)(c,d)[24] 다음을 만족시킨다고 할 때 이 둘이 같다고 친다.ad = bcad=bc
\left(a, b\right)(a,b)와 \left(c, d\right)(c,d)의 덧셈을 \left(ad + bc, db\right)(ad+bc,db)로, 곱셈을 \left(ac, bd\right)(ac,bd)로 정의한다.[26]
이러한 '변형된' 순서쌍들의 집합이 바로 유리수가 된다.
즉, \left(a, b\right)\sim\left(c, d\right) \Leftrightarrow ad = bc(a,b)∼(c,d)⇔ad=bc로 동치관계를 정의하게 되면 '변형된 순서쌍' \left(a, b\right)(a,b)이 사실 분수 {a \over b}ba​에 대응하는 것이다. 예를 들어보자면 {1 \over 2}, {2 \over 4}, {3 \over 6},\cdots21​,42​,63​,⋯ 이러한 분수들은 \left(1, 2\right), \left(2, 4\right),\left(3, 6\right), \cdots(1,2),(2,4),(3,6),⋯ 이러한 순서쌍의 형태로 표현되고, 동치관계에 의하여 {1 \over 2}, {2 \over 4}, {3 \over 6},\cdots21​,42​,63​,⋯들은 동치류(여기까지는 아직 같은 수가 된 건 아니다)가 되며 그 동치류들의 대표원으로 {1 \over 2}21​을 사용하겠다는 것이다. 정확하게는 동치류의 대표원이면 \left[{1 \over 2}\right][21​]라고 표현해야 하겠지만 지금까지 사용해왔던 관점을 존중하여 {1 \over 2}21​(흔히 말하는 기약분수)로 쓰겠다는 것이다. 사실 정수를 만드는 것과 대동소이 하므로 여기까지는 의무교육 때 졸지만 않았다면 쉽게 따라 올 수 있다. 다만 실수는 전혀 만만치 않은데, 복소수의 경우는 오히려 벡터공간이라 생각하면 이해가 쉬운 게 특이하다.참고로 유리수 집합은 표수가 00인 가장 작은 체이다. 그래서 소체(prime field)라고 한다.재밌는 사실은 자연수 집합과 정수 집합, 그리고 유리수 집합은 그 크기(cardinality)가 동일하다. 이 말은 이들 집합 간에 일대일 대응(bijection)이 존재한다는 뜻. 기묘해 보일 수도 있겠지만, 사실. 이것 때문에 게오르크 칸토어는 모든 무한집합이 다 같은 크기를 가진다는 추측을 했다고 말했다. 하지만 칸토어는 그 추측이 틀리다는 걸 나중에 밝혀내었다.
4. 무리수
Irrational number제곱근이 들어가는 숫자들,[27][28] 원주율 \piπ, 자연로그의 밑 ee 들이 대표적인 예이다. 간단하게 실수 중에서 유리수인 것들을 제외하고 남은 것들이다. {p \over q}qp​ 꼴로 표현할 수 없기 때문에 순환하지 않는 무한소수가 된다. 기호 표현으로는 \mathbb{Q}^{c}\cap \mathbb{R}Qc∩R 또는 \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}R∖Q 'irrational'의 첫 글자를 이용해 \mathbb{I}I 로 표기하기도 한다.유리수보다는 무리수가 훨씬 훨씬 더 많으며, 무리수의 바다에 가끔씩 유리수가 떠 있다고 이해하면 쉽다.유리수를 포함하는 더 큰 집합인 만큼 실수는 훨씬 더 다양한 수들을 포함하고 있다. 그중 유리수가 아닌 수들을 가리켜 무리수라고 부른다. 대표적인 예로 \sqrt{2}2​, \piπ, ee. 무리수들은 다시 대수적인 수(유리수 포함)와 초월수로 나뉘어지는데, 간단하게 말해 이들을 분류하는 기준은 이들을 근으로 가지는 유리수(혹은 정수) 계수 방정식이 존재하느냐 마느냐이다. 예컨대 \sqrt{2}2​는 x^{2} - 2 = 0x2−2=0의 근으로 대수적인 수이나, \piπ 는 대수적인 수가 아니라는 게 밝혀졌다. 마찬가지로 초월수가 대수적 수보다 훨씬 많다.
5. 실수
Real number
(실제로 존재하는 수)완비순서체(Complete ordered field)라는 말로 요약할 수 있다.[29] 기호 표현으로는 \mathbb{R}R. 앞에서 그랬듯이, 모든 완비순서체는 실수와 동치이다.실제 현존하는 수라는 의미다. 거리, 시간과 같이 우리가 일상에서 접하는 (주로 물리적 실체와 관련된) 수는 실수다. 실수체계는 수직선 상에 점을 찍을수 있는 수를 실수라고 생각하면 이해하기 쉬우며 어느 점을 찍더라도 유리수 혹은 무리수이다. 제곱해서 0보다 크거나 같은 수가 나오는 수이다. 다만 유리수보다는 무리수의 수가 훨씬 더 많다. 유리수는 셀 수 있을 정도로 많다면 (countably infinite) 무리수는 셀 수 없을 만큼 많다 (uncountably infinite). 실수를 이용하여 수직선을 채울 수도 있다.실수를 도입하는 방법에는 크게 두 가지 방법이 있다. 첫째는 구성적 방법으로 페아노 공리계에 의해 자연수를 정의하고 정수를 거쳐, 정수의 분수체로 유리수를 구성하고 유리수계의 결함을 보완하기 위해 실수계를 구성하는 방법이다. 둘째는 공리적 방법으로 자연수를 페아노 공리계에 의해 인정했듯이, 실수도 공리적으로 인정하자는 관점이다. 어떤 공집합이 아닌 집합 위에 덧셈과 곱셈이라는 연산이 정의되어 있고, 그 집합이 체의 공리, 완비성 공리, 순서공리의 세 공리들을 만족시킨다고 할 때, 그 계를 실수라고 정의하는 것이다.실수계를 구성적 방법으로 도입하는 것은 매우 어려운 일이다. 이에 대한 자세한 설명은 해당 문서 참조.
6. 복소수
Complex number실수 계수 방정식들 중엔 근이 없는 방정식이 있다. 대표적인 예가 x^2 + 1 = 0x2+1=0. 이들 방정식도 근을 갖도록 실수를 확장한 것[30]이 바로 복소수. (이때 생겨나는 수가 바로 허수이다.) 기호 표현으로는 \mathbb{C}C.대수적으로 닫혀있는(Algebraically closed) 수 체계이다.[31] 실수와 허수를 아울러서 포함한다.복소수의 가장 돋보이는 특징 중 하나는 바로 복소수 계수의 모든 방정식이 근을 가진다는 것. 이를 가리켜 대수학의 기본정리라고 부른다.[32][33] 또한 ee와 자연 로그를 이용한 무궁무진한 활용[34]이 있어 공돌이들의 구원자라고도 불린다. 한편, 다양한 수학분야에서 대수적으로 닫힌(algebraically closed), 즉 그 안의 모든 방정식이 근을 갖는 체는 굉장히 유용한데, 일단 복소수 체라는 강력하고도 익숙한 것이 있으니, 이름에 비해서 여러모로 유용한 것이다.[35]사원수 이상의 수에 대해 배우지 않는 이상, 우리가 일상생활에서 어떤 수를 만나든 모두 이 복소수 내에 포함된다. (예를 들어, 숫자 33은 복소수 내의, 실수 내의, 유리수 내의, 정수 내의, 자연수 내의 무한한 수들 중 하나일 뿐이다.)z = a+biz=a+bi(a,b \in \mathbb{R}a,b∈R, i=\sqrt{-1}i=−1​) 꼴로 나타내어지며, b=0b=0이면 실수, a=0a=0이면 순허수이다.이원수의 \epsilonϵ과 마찬가지로, 허수단위 ii역시 2×2실행렬에서 다음과 같이 쓸 수 있다.i = \left(\begin{array}{cc}0 \quad 1 \\ -1 \quad 0\end{array}\right)i=(01−10​)2×2 행렬로 표기시는 다음처럼 표기된다.z=a+bi = \left(\begin{array}{cc}a \quad b \\ -b \quad a\end{array}\right)z=a+bi=(ab−ba​)이 표기에 익숙해지면 왜 복소행렬에서 켤레 전치가 실행렬의 전치를 대체하는지, 복소수체 z = a+biz=a+bi와 j=-ij=−i를 이용해 정의한 복소수체 \bar{z}=a+bjzˉ=a+bj를 구별하는 것이 왜 어려운지[36] 등을 알게 된다.복소수 z = a+biz=a+bi 에 대해 유일하게 켤레수가 대응되는데 zz의 켤레복소수는 \bar{z} = a-bizˉ=a−bi 이다. 둘을 곱하면 z \bar{z} = a^2 + b^2zzˉ=a2+b2 로, zz의 크기의 제곱이 된다.[37]복소수체계의 특성상 실수범위 내에서는 잘되던 사칙연산의 일부, 미분, 적분 등등이 괴상하게 돌아가기 때문에 심히 까다로워서[38] 고등학교 과정에서는 1학년 때 맛보기만 살짝하고 넘어간다. 특히 정의역이 복소수인 함수는 짤없이 고교 교육과정 외.[39] (치역이 복소수인 함수라면 nn차방정식 단원에서 분명히 다룬다.)
6.1. 허수
Imaginary number.1572년 라파엘 봄벨리가 실수로는 나타낼 수 없는 이차 방정식의 근을 나타내기 위하여 수의 개념을 확장하여 정의했다. 간단히 생각해서 x^2 = -1x2=−1 을 풀어보려고 추가한 것이라 이해하자.단순하게는 허수단위 ii(=\sqrt{-1}=−1​) 가 보이면 허수이다. ii는 허수단위 이외에도 상당히 많은 용도가 있기 때문에[40] 헷갈리는 것을 방지하기 위해 jj로 표기하는 경우도 있다.z = a+biz=a+bi (a,b\in\mathbb{R}a,b∈R, b\ne 0b=0)[41]꼴로 나타내어지는데, 이중 a=0a=0인 경우에는 순허수라 부른다.

7.결론
오늘은 수 체계에 대해 알아보았다. 이 외에도 다른 수들이 있지만 어려워 여기까지만 복사. 그리고 수 체계를 나타내면 맨 안쪽에 정수가 있고 그 옆에 분수와 소수, 그리고 유리수, 무리수, 실수, 허수, 복소수 순서대로 있다. 아주 중요한 자료기 때문에 간직 해야 하고 이 과정은 나중에 나오는 수학 교과서에도 이 내용이 적혀있다.





{출처:나무위키(수 체계)}
Edit:Yul
2021/07/04

  • 솔로 2021.07.07 01:05
    글이 너무 길거나 제 한글 자료에서 너무 많이 붙여넣었다면 이렇게 길게는 쓰지 않겠습니다.(말해주신다면) 읽어주셔서 감사합니다.

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