수학적 재능 테스트

정답은 그렇다 입니다
왜냐하면 무리수 x,y와 유리수k에 대하여 x^y=k 이렇게 표현할수 있습니다 그리고 이식을 바꾸면 logxK=y가 됩니다.
이 식의 그래프를 그려보면 K축과 1에서 만나는 로그함수가 그려집니다 이 그래프에서 k값이 유리수 일때 y좌표는 무리수 값이 나올수 있다. 그러므로 x^y의 값이 유리수가 되는 x,y값은 존재한다 맞나요.....? 7분정도 걸렸습니다

정답 그렇다
X=허수i이고 Y=허수-i일때 두수 XY의 값은 1로 유리수가 될수있다 1분 소요

x, y 모두 무리수, x^y = 루트(2)라면 <-가능한 x, y 쌍 있음
이때 x^2y = 2, 하지만 x, 2y 는 모두 무리수다.
따라서 x, y 가 모두 무리수라 하더라도 x^y는 무리수일 수 있음

x=z^(1/y), z는 유리수라 하면 자연스럽게 x,y는 무리수이지만 x^y는 유리수가 되네요. 근데 이게 IQ140은 아닌거같아보이는데..

2분소요/
직관적으로 유리수가 될것 같았음
x=e, y=ln2 일때 e^ln2=2
e,ln2 무리수인건 원래 알고 있었어서.., 이거 몰랐으면 증명하는데 시간썼을것 같음

1분 이내로 풂
x=루트2, y=a대입, x^y=3일때 존재.
2^(a/2)=3인 a가 무리수임을 보이자.
귀류법을 이용하면
a가 유리수(a=q/p)라고 하면 2^(q\2p)=3->2^q=3^2p
p=/=0이므로 모순, 즉 a는 무리수

2분정도 ?
X, Y가 같은 무리수 n^(1/n) 으로 (n은 유리수) 같을 때, 지수에서
X^Y = n^(1/n){n^(1/n)}= n^(1)^(1/n) 으로 X^Y = n으로, 유리수일 수 있습니다. 이게 정확한지는 잘 모르겠어요.

a = (루트2) ^ (루트2)
b = 루트2

a가 유리수면 그 자체로 무리수^무리수=유리수 가능
a가 무리수여도 a^b=2이므로 무리수^무리수=유리수 가능

루트*루트=그 안에 있는 수가 나오고, - * -는 +가 되는데 무리수 * 무리수도 당.연.히 유리수가 될 수 있죠!

그냥 x^y = b/a(a,b는 유리수)라고 했을때 x = (b/a)^(1/y)가 되고 이 말은 유리수에 무리수를 제곱했을때 무리수가 나올수 있냐는건데, 지수함수 그래프가 연속이니까 당연히 그런 케이스가 있음