아이큐와 표준편차와의 관계 : 나만의 아이큐

이곳 무료아이큐테스트(http://www.iqtest.kr)는 통계 데이터를 이용하여 나이에 따라 시뮬레이션(가상실험) 하여 만든 아이큐 테스트로 자신의 나이에 맞는 아이큐를 측정할 수 있습니다.

지능지수인 아이큐(IQ:Intelligence Quotient)는 자신과 같은 나이 또래인 전 세계 사람들의 아이큐 평균을 100으로 하여 중심(평균)에서 얼마나 떨어져 분포하는지를 나타내는 표준편차로 표현된 정규분포의 통계적 방법으로 자신의 상대적 위치를 측정한 것이 아이큐입니다.

아이큐는 중심에서 좌우대칭으로 분포하는 종 모양인 정규분포로 아래 그림과 같이 평균과 표준편차에 따라 일정한 분포를 보여줍니다.(m은 평균, σ는 표준편차)

세계 인구분포를 표본 검사방식으로 지능 검사를 측정하여 지능 평균점을 아이큐 평균(m) 100으로 설정하며

표준편차 15 (Wechsler: 예전 학교에서 많이 사용) :평균(m)=100, 표준편차(σ)=15

아이큐 테스트를 만들 때 표준편차 15에서는 중심 평균 아이큐100에서 표준편차 15만큼 떨어진 ±15(15x1) 거리의 85(100-15)와 115(100+15) 사이는 전체에서 68.3% 분포, ±30(15x2) 떨어진 70(100-30)과 130(100+30) 사이에 전체 중 95.5% 분포, 70 이하와 130 이상은 각각 2%씩 분포, ±45(15x3)의 거리인 145 이상과 55 이하는 각각 0.15%씩 아이큐가 정규분포하도록 만듭니다.

표준편차16 (Stanford-Binet: 세계 표준으로 사용): 평균(m)=100, 표준편차(σ)=16

표준편차 16에서는 중심 평균 아이큐100에서 표준편차 16만큼 떨어진 ±16(16x1) 거리의 84(100-16)와 116(100+16) 사이에 전체 중 68.3% 분포, ±32(16x2) 떨어진 68(100-32)과 132(100+32) 사이에 95.5% 분포, 68 이하와 132 이상은 각각 2%씩 분포, 48(16x3) 거리인 148 이상과 52 이하는 각각 0.15%씩 아이큐가 정규분포하게 만듭니다.

표준 편차24를 사용할 때(Cattell: 요즘 방송, 학교 학원에서 많이 사용) :평균(m)=100, 표준편차(σ)=24

같은 방법으로 표준편차 24에서는 중심 평균 아이큐100에서 표준편차 24만큼 떨어진 ±24(24x1) 거리의 76(100-24)과 124(100+24) 사이에 전체 중 68.3% 분포, ±48(24x2) 떨어진 52(100-48)와 148(100+48) 사이에 95.5% 분포, 52 이하와 148 이상은 각각 2%씩 분포, ±72(24x3) 거리인 172 이상과 28 이하는 각각 0.15%씩 아이큐가 정규분포하게 만듭니다.

표준편차 15,16,24일 때 IQ 분포

IQ	표준편차15(%ile)	표준편차16(%ile)	표준편차24(%ile)
1	0.00000000	0.00000003	0.00185367
2	0.00000000	0.00000005	0.00221971
3	0.00000001	0.00000007	0.00265363
4	0.00000001	0.00000010	0.00316712
5	0.00000001	0.00000014	0.00377373
6	0.00000002	0.00000021	0.00448909
7	0.00000003	0.00000031	0.00533124
8	0.00000004	0.00000045	0.00632092
9	0.00000007	0.00000064	0.00748198
10	0.00000010	0.00000093	0.00884173
11	0.00000015	0.00000133	0.01043140
12	0.00000022	0.00000190	0.01228664
13	0.00000033	0.00000270	0.01444807
14	0.00000049	0.00000383	0.01696186
15	0.00000073	0.00000541	0.01988038
16	0.00000107	0.00000760	0.02326291
17	0.00000157	0.00001066	0.02717642
18	0.00000229	0.00001488	0.03169642
19	0.00000333	0.00002069	0.03690785
20	0.00000482	0.00002867	0.04290603
21	0.00000695	0.00003957	0.04979779
22	0.00000996	0.00005440	0.05770250
23	0.00001423	0.00007453	0.06675333
24	0.00002024	0.00010171	0.07709848
25	0.00002867	0.00013828	0.08890253
26	0.00004042	0.00018730	0.10234787
27	0.00005675	0.00025274	0.11763614
28	0.00007933	0.00033977	0.13498980
29	0.00011043	0.00045505	0.15465373
30	0.00015306	0.00060716	0.17689682
31	0.00021125	0.00080709	0.20201375
32	0.00029030	0.00106885	0.23032661
33	0.00039724	0.00141022	0.26218672
34	0.00054125	0.00185367	0.29797632
35	0.00073434	0.00242750	0.33811033
36	0.00099208	0.00316712	0.38303806
37	0.00133458	0.00411675	0.43324484
38	0.00178770	0.00533124	0.48925366
39	0.00238452	0.00687841	0.55162667
40	0.00316712	0.00884173	0.62096653
41	0.00418880	0.01132341	0.69791775
42	0.00551665	0.01444807	0.78316768
43	0.00723480	0.01836700	0.87744751
44	0.00944811	0.02326291	0.98153286
45	0.01228664	0.02935554	1.09624427
46	0.01591086	0.03690785	1.22244727
47	0.02051774	0.04623306	1.36105227
48	0.02634775	0.05770250	1.51301400
49	0.03369293	0.07175423	1.67933065
50	0.04290603	0.08890253	1.86104252
51	0.05441087	0.10974824	2.05923037
52	0.06871379	0.13498980	2.27501320
53	0.08641652	0.16543509	2.50954559
54	0.10823005	0.20201375	2.76401463
55	0.13498980	0.24579012	3.03963618
56	0.16767182	0.29797632	3.33765076
57	0.20740984	0.35994551	3.65931886
58	0.25551303	0.43324484	4.00591569
59	0.31348423	0.51960794	4.37872548
60	0.38303806	0.62096653	4.77903523
61	0.46611880	0.73946071	5.20812794
62	0.56491728	0.87744751	5.66727546
63	0.68188623	1.03750727	6.15773080
64	0.81975359	1.22244727	6.68072013
65	0.98153286	1.43530216	7.23743433
66	1.17052981	1.67933065	7.82902035
67	1.39034475	1.95800788	8.45657224
68	1.64486958	2.27501320	9.12112197
69	1.93827871	2.63421267	9.82363029
70	2.27501320	3.03963618	10.56497737
71	2.65975740	3.49544870	11.34595359
72	3.09740757	4.00591569	12.16725046
73	3.59303191	4.57536250	13.02945171
74	4.15182197	5.20812794	13.93302474
75	4.77903523	5.90851229	14.87831242
76	5.47992917	6.68072013	15.86552539
77	6.25968728	7.52879864	16.89473502
78	7.12333774	8.45657224	17.96586692
79	8.07566592	9.46757430	19.07869529
80	9.12112197	10.56497737	20.23283810
81	10.26372518	11.75152283	21.42775317
82	11.50696702	13.02945171	22.66273524
83	12.85371493	14.40043790	23.93691409
84	14.30611922	15.86552539	25.24925375
85	15.86552539	17.42507119	26.59855290
86	17.53239449	19.07869529	27.98344636
87	19.30623371	20.82523933	29.40240783
88	21.18553986	22.66273524	30.85375387
89	23.16775746	24.58838504	32.33564898
90	25.24925375	26.59855290	33.84611195
91	27.42531178	28.68877018	35.38302333
92	29.69014286	30.85375387	36.94413402
93	32.03691909	33.08743880	38.52707489
94	34.45782584	35.38302333	40.12936743
95	36.94413402	37.73302815	41.74843532
96	39.48629105	40.12936743	43.38161674
97	42.07402906	42.56343118	45.02617752
98	44.69648834	45.02617752	46.67932481
99	47.34235357	47.50823310	48.33822135
100	50	50	50
101	52.65764643	52.49176690	51.66177865
102	55.30351166	54.97382248	53.32067519
103	57.92597094	57.43656882	54.97382248
104	60.51370895	59.87063257	56.61838326
105	63.05586598	62.26697185	58.25156468
106	65.54217416	64.61697667	59.87063257
107	67.96308091	66.91256120	61.47292511
108	70.30985714	69.14624613	63.05586598
109	72.57468822	71.31122982	64.61697667
110	74.75074625	73.40144710	66.15388805
111	76.83224254	75.41161496	67.66435102
112	78.81446014	77.33726476	69.14624613
113	80.69376629	79.17476067	70.59759217
114	82.46760551	80.92130471	72.01655364
115	84.13447461	82.57492881	73.40144710
116	85.69388078	84.13447461	74.75074625
117	87.14628507	85.59956210	76.06308591
118	88.49303298	86.97054829	77.33726476
119	89.73627482	88.24847717	78.57224683
120	90.87887803	89.43502263	79.76716190
121	91.92433408	90.53242570	80.92130471
122	92.87666226	91.54342776	82.03413308
123	93.74031272	92.47120136	83.10526498
124	94.52007083	93.31927987	84.13447461
125	95.22096477	94.09148771	85.12168758
126	95.84817803	94.79187206	86.06697526
127	96.40696809	95.42463750	86.97054829
128	96.90259243	95.99408431	87.83274954
129	97.34024260	96.50455130	88.65404641
130	97.72498681	96.96036382	89.43502263
131	98.06172129	97.36578733	90.17636971
132	98.35513042	97.72498681	90.87887803
133	98.60965525	98.04199212	91.54342776
134	98.82947019	98.32066936	92.17097965
135	99.01846714	98.56469784	92.76256567
136	99.18024641	98.77755273	93.31927987
137	99.31811377	98.96249273	93.84226920
138	99.43508272	99.12255249	94.33272454
139	99.53388120	99.26053929	94.79187206
140	99.61696194	99.37903347	95.22096477
141	99.68651577	99.48039206	95.62127452
142	99.74448697	99.56675516	95.99408431
143	99.79259016	99.64005449	96.34068115
144	99.83232818	99.70202368	96.66234924
145	99.86501020	99.75420988	96.96036382
146	99.89176995	99.79798625	97.23598537
147	99.91358348	99.83456491	97.49045441
148	99.93128621	99.86501020	97.72498681
149	99.94558913	99.89025176	97.94076963
150	99.95709397	99.91109747	98.13895748
151	99.96630707	99.92824577	98.32066936
152	99.97365225	99.94229750	98.48698600
153	99.97948226	99.95376694	98.63894773
154	99.98408914	99.96309215	98.77755273
155	99.98771336	99.97064446	98.90375574
156	99.99055189	99.97673709	99.01846714
157	99.99276520	99.98163300	99.12255249
158	99.99448335	99.98555193	99.21683232
159	99.99581120	99.98867660	99.30208225
160	99.99683288	99.99115827	99.37903347
161	99.99761548	99.99312159	99.44837333
162	99.99821230	99.99466877	99.51074634
163	99.99866543	99.99588325	99.56675516
164	99.99900792	99.99683288	99.61696194
165	99.99926566	99.99757250	99.66188967
166	99.99945875	99.99814633	99.70202368
167	99.99960276	99.99858978	99.73781328
168	99.99970970	99.99893115	99.76967339
169	99.99978875	99.99919291	99.79798625
170	99.99984694	99.99939284	99.82310318
171	99.99988957	99.99954495	99.84534627
172	99.99992067	99.99966023	99.86501020
173	99.99994325	99.99974726	99.88236386
174	99.99995958	99.99981270	99.89765213
175	99.99997133	99.99986172	99.91109747
176	99.99997976	99.99989829	99.92290152
177	99.99998577	99.99992547	99.93324667
178	99.99999004	99.99994560	99.94229750
179	99.99999305	99.99996043	99.95020221
180	99.99999518	99.99997133	99.95709397
181	99.99999667	99.99997931	99.96309215
182	99.99999771	99.99998512	99.96830358
183	99.99999843	99.99998934	99.97282358
184	99.99999893	99.99999240	99.97673709
185	99.99999927	99.99999459	99.98011962
186	99.99999951	99.99999617	99.98303814
187	99.99999967	99.99999730	99.98555193
188	99.99999978	99.99999810	99.98771336
189	99.99999985	99.99999867	99.98956860
190	99.99999990	99.99999907	99.99115827
191	99.99999993	99.99999936	99.99251802
192	99.99999996	99.99999955	99.99367908
193	99.99999997	99.99999969	99.99466877
194	99.99999998	99.99999979	99.99551091
195	99.99999999	99.99999986	99.99622627
196	99.99999999	99.99999990	99.99683288
197	99.99999999	99.99999993	99.99734637
198	99.99999999	99.99999995	99.99778029
199	99.99999999	99.99999997	99.99814633
200	99.99999999	99.99999998	99.99845457
201	99.99999999	99.99999999	99.99871369

각 표준편차에 따른 아이큐 변환 계산식

(예제) 표준편차 15에 아이큐가 130 이면, 표준편차 24 일 때 아이큐는?

표준편차 아이큐 자동 변환기

<사용방법> 알고 있는 표준편차의 아이큐를 기입하여 "OK"을 누르면 다른 표준편차에서 아이큐를 계산합니다.

※각 표준편차에 대한 아이큐는 동일한 퍼센타일(%ile)을 가지는 동일한 크기입니다.

즉, 표준편차15에서 아이큐 130, 표준편차16에서 아이큐 132, 표준편차 24에서 아이큐 148은 모두 퍼센타일 97.725%ile의 상위 2%인 동일한 크기의 아이큐입니다.

표준편차와 아이큐만 알면 자신의 아이큐가 전체 몇 등인지 알 수 있습니다.

모든 아이큐는 평균 100을 기준으로 만들고 있으며, 여기에서 측정한 표준편차만 알면 자신의 아이큐 등위를 알 수 있는 것이 표준편차와 아이큐 관계입니다.

예로, 표준편차 15로 측정하여 아이큐가 130 나왔을 때 이 아이큐는 전체 상위 2%에 속하는 것을 알 수 있습니다.

위와 같이 표준편차와 아이큐로 어떻게 상위 2%인지 알 수 있을까?

통계 분포인 정규분포는 평균(m)과 표준편차(σ)로 표현되며, 쉽게 계산하기 위하여 정규분포를 표준정규분포로 변환하여 계산합니다.

확률변수 X가 정규분포 N (m, σ²)을 따를 때, 새로운 변수 Z를 다음과 같이 변환시키면 새로운 확률변수 Z의 확률분포는 표준정규분포 N(0,1²)을 따르게 됩니다.

여기서

즉, 정규분포를 평균(m)이 0이고 표준편차(σ)를 1로 표준화하면, 정규분포의 확률을 Z 값 기준으로 쉽게 계산이 가능합니다.

우선 표준정규분포 표를 보는 방법은, 아래의 표는 표준정규분포곡선에서 0에서 Z까지의 확률을 표로 나타낸 것입니다.

즉, 만일Z=2.54 의 값을 알고 싶다면 왼쪽 첫 열에서 2.5로 나타난 행을 찾고 위쪽 첫 행에서 0.04로 표시된 열을 찾아 만나는 지점의 값을 구합니다.

만나는 지점 값은 0.4945 으로 표시되어 0부터 Z 지점까지의 면적(확률)을 나타냅니다.(아래 곡선 그림의 면적, 곡선 전체 면적인 확률 값은 1)

그러므로 표준편차 15에서 아이큐 130은 전체 몇%에 해당하는지 구하여 보면, 모든 아이큐 평균이 100이라고 하였으므로

에서

이므로 위의 표에서 Z=2.0에 해당 확률은 정규분포 표에서 왼쪽 첫열에서 아래로 2 지점과 위쪽 첫행 0지점이 만나는 지점을 찾으면 0.4772라는 것을 알 수 있습니다.

그러므로 아이큐 130은 표준정규분포 표에서 중심 좌측 면적(0.5)+Z 값 면적(0.4772)의 총면적인 확률 값 0.9772(0.5+0.4772)로 퍼센타일 값 97.72%ile (0.9772x100)을 구할 수 있으며, 보통 집단에서 상위 약 2%(100-97.72)인 통계적 의미를 가지는 것입니다.

자신이 측정한 아이큐와 표준편차만 알면 자신이 전체에서 몇 등인지 알 수 있으며, 표준편차15에서 아이큐 130은 퍼센타일 값(Percentile 값:작은 쪽에서부터 세어 몇 % 째의 값이 어느 정도인지를 나타내는 통계적 표시법)이 97.72%ile이므로 상위 2%(100-97.72)인 100명 중 2등(100x0.02)인 아이큐입니다.

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